现代分析学之父——魏尔斯特拉斯，及与他学生索菲亚的数学佳话

一个人有没有可能长期从事小学教学，仍然保持数学的生命力现代分析之父威勒斯特拉斯的一生是一个明确的答案

在详细介绍维尔斯特拉斯之前，我们先按时间顺序介绍一下他同时代的德国数学家这些人在19世纪下半叶和20世纪前30年提出了至少一个数学领域的新观点1855年是数学界一个具有里程碑意义的时间，高斯去世，标志着与上个世纪杰出数学家最后一次接触的中断1855年，维尔斯特拉斯40岁，克罗内克32岁，男的29岁，戴德金24岁，而康托尔还是个10岁的孩子所以德国数学界不乏新人来延续高斯的伟大传统这时，维尔斯特拉斯刚刚得到承认，克罗内克刚刚开了个好头，黎曼完成了一些最伟大的工作戴德金正在进入成名领域当然，康托尔还不得而知

这些人在一个数学中心问题上走到了一起，即无理数问题威尔特拉斯和戴德金在欧多克索斯之后恢复了对无理数和连续性的讨论，克罗内克怀疑并批评了维尔斯特拉斯对欧多克索斯的修正，另一方面，康托尔开辟了一条自己的新路，试图理解连续性概念中隐含的真正的无限本身从维尔斯特拉斯和戴德金的工作，开启了分析科学的现代时代，即分析科学的严格逻辑精确性高斯，阿贝尔和柯西开始了第一阶段的严格，威尔特拉斯和戴德金将其推向了一个更高的层次

魏尔斯特拉斯的发现尤其震惊了直觉分析师:他做出了一条在任何一点都没有切线的连续曲线高斯曾称数学为眼睛的科学，但要让人看到维尔斯特拉斯的曲线，需要的不仅仅是一双好眼睛

在数学中，维尔斯特拉斯函数是处处连续但处处可微的实函数的一个例子区间上维尔斯特拉斯函数的图形和其他一些分形一样，这个函数表现出了自相似性，每次缩放都和全局图相似

克罗内克猛烈攻击它，否认它的意义，但没有给数学分析留下任何影响直到20世纪的第二个十年，人们才认真考虑他对目前公认的连续性和非理性信念的批评不管有没有道理，克罗内克的攻击一定程度上导致了现代数学推理的第三阶段的严格性

阿贝尔死于1829年，伽罗瓦死于1832年，雅各比死于1851年在我们所说的时代，数学分析中的一个突出问题就是完成阿贝尔和雅可比对多周期函数的工作维尔斯特拉斯和黎曼从完全不同的观点完成了应该做的事情，克罗内克在椭圆函数上开辟了新的前景，但他在阿贝尔函数上没有和另外两个人竞争克罗内克主要是算术家和代数学家，他最好的作品之一是对伽罗瓦在方程理论方面的工作的详细阐述和发展就这样，伽罗瓦死后不久就有了一个有价值的继承人

维尔斯特拉斯

Karlwilhelm Weierstrass于1815年10月31日出生于德国明斯特的奥斯坦费尔德。

数学家往往喜欢音乐，但像威勒斯特拉斯这样思想开放的人，是受不了任何一种音乐的可是，像阿贝尔和其他许多第一流的数学家一样，他喜欢拜访数学家他曾被拉普拉斯的天体力学迷住，从而奠定了他一生对力学和联立微分方程的兴趣

日前，魏尔斯特拉斯开始了他在明斯特的中学教师生涯这是他后来在数学上取得优异成绩的最重要的阶梯对维尔斯特拉斯影响最大的是克里斯托弗·古德曼作为数学教授来到明斯特古德曼当时热衷于椭圆函数

雅可比在1829年发表了他的椭圆函数理论的新基础。

在古德曼的时代，椭圆函数理论可以以许多不同的方式发展古德曼的想法是一切都是基于函数的幂级数展开，但他并没有取得多大的成就重要的是，威勒斯特拉斯把幂级数理论作为他所有分析工作的核心

古德曼教授椭圆函数课程第一讲的时候，只有13个人听第二讲的听众只有一个，就是维尔斯特拉斯从此，再也没有第三者敢亵渎说话人和他唯一的弟子之间的精神关系

维尔斯特拉斯26岁开始中学教师生涯，历时15年，被普遍认为是数学家一生中最有创造力的15年维尔斯特拉斯的讲座是一个完美的典范他能给学生一些无形的东西，叫灵感他培养了一大批有创造力的数学家

亚伯，一个贫穷的挪威人。

维尔斯特拉斯经常和朋友阿贝尔一起熬夜当他成为世界一流的分析师和欧洲最伟大的数学老师时，他给许多学生的第一个也是最后一个建议是读亚伯

维尔斯特拉斯的大部分创作想法都是在他还是一个默默无闻的中学老师的时候构思出来的，那里没有什么高深的书籍由于付不起邮费，魏尔斯特拉斯无法进行科学交流也许这对他来说是一件好事:他的原创可以自由发展，不受当时流行观念的阻碍在演讲中，他总是想根据自己的特点从头说起，几乎从不提及别人的工作

数学生涯

Weierstrass在明斯特的一所高中担任实习教师一年后，写了一篇关于分析函数的论文在这篇论文中，他独立地获得了柯西积分理论，即所谓的分析基本定理1842年，魏尔斯特拉斯27岁时，将自己发展的方法应用于微分方程，论述成熟有力他没有想到发布这些工作，只是为自己的终身事业打下了基础

1842年，德国的一个无名小镇克罗尼有幸成为维尔斯特拉斯第一次发表作品的地方在数学史上就像一个王国的首都一样显赫因为正是在这里，维尔斯特拉斯奠定了他一生中最重要的工作——完成阿贝尔和雅可比由阿贝尔定理导出的毕生事业，雅可比发现多变量多周期函数

亚伯在年轻力壮的时候就去世了，没有机会探究他惊人发现的意义，雅可比没有看清楚，他应该在阿贝尔定理中找出自己工作的真正意义这些成果的巩固和发展是数学中的主要问题之一

因此，维尔斯特拉斯宣称，一旦他对这个问题有了深刻的理解，并开发出必要的工具，他将全力以赴从事这个问题。

我们可以把维尔斯特拉斯在《分析》中的全部工作看作是他的许多研究的重要开端他早就确信，为了清楚地理解他想做的事情，他必须彻底修改数学分析的基本概念，从这个信念出发，他产生了另一个信念:分析必须以普通整数为基础无理数给了我们极限和连续的概念，分析由此产生，无理数必须通过不可侵犯的推理追溯到整数，似是而非的证明必须放弃或重做，空白必须填补，含糊不清的不证自明的真理必须拿出来接受严格的质疑，直到一切都被理解，用整数都能理解的语言表述清楚从某种意义上来说，这是毕达哥拉斯的理想:把所有的数学都建立在整数的基础上，但威尔斯特拉斯给了这个计划一个建设性的，明确的定义，使它能够解决问题

于是，19世纪的分析算术运动产生了，它与克罗内克的算术方法完全不同。

1853年，维尔斯特拉斯在他父亲位于威斯特康的家中度过了暑假维尔斯特拉斯利用这个假期写了一篇关于阿贝尔函数的论文1854年，这篇论文发表在《克里尔》杂志上，引起了轰动

哥尼斯堡大学

日前，威勒斯特拉斯被任命为柏林皇家理工学院的数学教授同年秋，他成为柏林大学的助理教授，并入选柏林科学院

新的工作环境的刺激和过多的讲座带来的紧张很快导致了精神崩溃维尔斯特拉斯在研究工作中也太努力了1859年夏天，他不得不放弃他的课程去休息治疗他秋天回到学校，继续工作，身体明显恢复但次年3月，突然一阵眩晕，在一次听课中摔倒

后来，维尔斯特拉斯的名声传遍了整个欧洲，维尔斯特拉斯教的班级开始变得大到无法控制他身边聚集了一群极其能干的年轻数学家这些年轻的数学家做了大量的工作来宣传他的思想因为维尔斯特拉斯从来没有积极出版他的著作，如果他的弟子没有积极传播他的言论，他对19世纪数学思想的影响将会受到极大的阻碍

与柯瓦列夫斯卡娅的友谊

索尼娅·柯瓦列夫斯卡娅

魏尔斯特拉斯在柏林担任数学教授时，这位世界公认的一流分析师的职业生涯充满了关于科学和人性的趣事有一件事是不能一瞬间满足的这是他和他心爱的学生索尼娅·柯瓦列夫斯卡娅的友谊

柯瓦列夫斯卡娅于1850年1月15日出生于莫斯科，于1891年2月10日在瑞典的斯德哥尔摩去世。

索尼娅15岁开始学习数学到了18岁，她已经有了很大的进步，可以做高级的工作，并且迷上了这门学科由于来自富裕的贵族家庭，她出国留学的志向得到了满足，考上了海德堡大学这位才华横溢的女孩不仅成为近代第一流的女数学家，还作为妇女解放运动的领袖而闻名此外，索尼娅非常漂亮

1870年，普法战争让维尔斯特拉斯放弃了平时的夏季旅行，他留在柏林教授椭圆函数索尼娅当时是一个耀眼的19岁年轻女子自1869年秋以来，她一直在海德堡大学向利奥·柯尼希斯伯格学习椭圆函数柯尼希斯伯格是维尔斯特拉斯最早的学生，也是维尔斯特拉斯第一流的宣传家索尼娅决定自己直接去找大师寻求灵感和启迪

19世纪70年代，未婚女大学生的情况有些特殊为了防止流言蜚语，索尼娅18岁就订婚了，名义上已经结婚了她把丈夫留在俄罗斯，动身去了德国在与维尔斯特拉斯的交往中，她没有在一开始就告诉维尔斯特拉斯她已经结婚，这是考虑不周的

索尼娅决定亲自向大师学习，于是她勇敢地去柏林拜访了威尔斯特斯她20岁，很热情，很真诚，很坚定，55岁的Weierstrass对年轻人的愿望表示同情为了掩饰自己的惊慌，索尼娅戴了一顶又大又软的帽子，所以威尔斯特拉斯根本看不到她那双惊艳的眼睛如果她想，没有人能抗拒她富于表情的眼睛

索尼娅第一次来访时表现出的明显的热情给维尔斯特拉斯留下了很好的印象所以他写信给柯尼希斯伯格，询问她的数学能力他还问能不能为这位小姐的人品提供必要的保障在得到肯定的回答后，Weierstrass试图要求大学理事会允许索尼娅参加他的数学讲座当要求被粗暴拒绝后，他就利用业余时间亲自照顾她每个星期天下午，索尼娅都会在他的住处听一次讲座，每周一次，维尔斯特拉斯都会回访她上了几节课后，索尼娅摘下了帽子讲座从1870年秋开始，一直持续到1874年秋，只有因假期或生病而稍有中断当两个朋友因为某种原因不能见面时，他们就通信索尼娅于1891年去世后，维尔斯特拉斯烧掉了她写给他的所有信件，以及他的许多其他信件，或许还有不止一篇数学论文

维尔斯特拉斯和他可爱的年轻朋友之间的通信非常人性化，尽管大多数通信都是关于数学的毫无疑问，大多数通信在科学上非常重要，但不幸的是，索尼娅在文件方面是一个无组织的女人，她留下的大多数都是支离破碎或无组织的

维尔斯特拉斯本人在这方面并不是一个完美的人他把自己未发表的手稿随便借给学生，不做笔记，他们借的也不总是还有些人甚至肆无忌惮地改写自己老师的一些作品，然后把成果作为自己的发表虽然维尔斯特拉斯在给索尼娅的信中抱怨了这种无法容忍的做法，但他懊恼的并不是自己的思想被卑鄙的抄袭，而是自己的思想在无能的人手里粗制滥造，导致数学受损索尼娅当然不会做这样的事，但另一方面，她也不是完全没有责任维尔斯特拉斯给索尼娅寄去了一本他非常重视的未出版的书，从此再也没有看到过显然，她失去了它，因为每当他提到它，她小心翼翼地避免谈论它

为了弥补这个错误，索尼娅尽力让维尔斯特拉斯对他其余未发表的作品略显谨慎经常出差的他习惯带着一个白色的大木箱，里面装着他所有的工作笔记和他未完成论文的各种手稿他的习惯是一遍又一遍地修改一个理论，直到他找到发展它的最佳自然方式结果他的书出版得很慢只有当他从一致的角度彻底研究了一个课题，他才签上自己的名字，出版了一本书1880年，这个盒子在威尔斯特斯的一次假日旅行中丢失了从此再无音讯

1874年，索尼娅在缺席获得哥廷根大学学位后，回到俄罗斯休息他徒劳的努力让他痛恨正统学术思想的狭隘

1875年10月，维尔斯特拉斯从索尼娅那里得到了她父亲去世的消息显然，她没有回应他善意的慰问将近3年，她从他的生活中彻底消失了1878年8月，他写信问她是否收到了他很久以前写给她的一封信，信的日期他已经忘记了

你没收到我的信吗或者有什么东西可以阻止你自由地向我透露你的秘密，你经常称之为你最好的朋友，就像你一直做的那样

她两年没回老朋友的信了，虽然她知道他不开心，身体也不好回复来了，挺失望的索尼娅的性欲已经超过了她的野心，她和丈夫从此过上了幸福的生活这个时候，她的不幸就是成为了一群浅薄的艺术家，记者，半瓶醋文人阿谀奉承，愚不可及的中心他们喋喋不休地谈论她无与伦比的天才，表面的奉承使她兴奋和激动如果她一直和那些和她平起平坐的知识分子接触，她还能过正常的生活，保持热情，就不会像她那样刻薄地对待那个塑造她思想的人

索菲亚和她的女儿

1878年10月，索尼娅的女儿宓妃出生了她不得不安静下来，这又激起了母亲对数学的潜在兴趣她写信给Weierstrass，要求提供技术建议他回答说，在发表意见之前，他必须查阅相关文献虽然她曾经冷落过他，但他仍然乐于给她慷慨的鼓励她唯一的遗憾是她长时间的沉默剥夺了他帮助她的机会

物质上的困难促使索尼娅知道了真相她是天生的数学家，她再也离不开数学，就像鸭子离不开水一样因此，1880年10月，她再次写信向维尔斯特拉斯征求意见，没等他回信，她就收拾行李，离开莫斯科去了柏林可是，当心烦意乱的索尼娅不期而至时，他花了一整天的时间为她仔细检查她的困难他一定和她坦率地谈过了，因为当她三个月后回到莫斯科时，她如此热情地投身于她的数学，以至于她放荡的朋友和愚蠢的奉承者都不再认识她了在维尔斯特拉斯的建议下，她着手解决光在某种晶体介质中的传播问题

1882年的通信有两个新的方面，一个是关于对数学的兴趣，另一个是威尔斯特拉斯坦率地认为索尼娅和她的丈夫不合适，尤其是她的丈夫不能真正重视她的智力成就数学涉及到庞加莱，他正处于职业生涯的初期魏尔斯特拉斯凭着识别青年才俊的可靠本能，称庞加莱是一个有前途的人，希望他放弃过快出书的习惯，使自己的研究成熟起来，不要把研究分散到太广的领域谈到庞加莱的大量论文，他说，不可能每周都发表一篇真正成功的文章

1883年3月，索尼娅的丈夫突然去世，索尼娅的家庭问题很快得到解决她在巴黎，她的丈夫在莫斯科这一打击使她不知所措整整四天，她把自己一个人关在房间里，不吃不喝第五天，她失去了意识，第六天，她恢复了她要了笔和纸，在纸上写满了数学公式秋天，她回到了原来的状态，参加了敖德萨的一个科学会议

1884年秋，她在斯德哥尔摩大学任教，并于1889年被任命为终身教授后来，意大利数学家沃尔泰拉指出，她关于光在晶体介质中折射的工作存在严重错误，她遭受了相当尴尬的挫折维尔斯特拉斯没有看到这个错误他被公务压得喘不过气来除了这些公务，他只有时间吃喝和睡觉此时他已年近70，但伴随着身体疾病的增多，他的智力仍保持着一如既往的强健和敏捷

这位大师的70岁生日成为公众向他致敬的日子他的弟子和以前的学生从欧洲各地赶来相聚之后，他公开演讲的次数越来越少，花了10年时间在自己家里接待几个学生在他80岁生日的时候，举行了比他70岁生日更值得纪念的庆典，他在某种程度上成为了德国人民的民族英雄

威尔斯特斯在晚年经历的最大快乐之一就是他心爱的学生终于得到了认可在1888年的平安夜上，索尼娅因其论文《论绕定点旋转的固体》获得了法国科学院的波尔丹奖

维尔斯特拉斯欣喜若狂。他写道:

我不需要告诉你你的成就让我和我的姐妹们多么高兴特别是，我感到一种真正的满足感，合格的评委们现在已经做出了判决，那就是我忠实的学生，我心爱的人，真的不是一个轻浮的骗子

两年后，41岁的索尼娅感染了当时流行的流行性感冒，不久在斯德哥尔摩去世维尔斯特拉斯死后活了六年日前，在长期患病和患流行性感冒后，她在柏林的家中平静地去世，享年82岁索尼娅被安葬在斯德哥尔摩，威勒斯彻斯特和他的两个姐姐被安葬在柏林的一个天主教墓地

两个基本概念

现在，我们将提示两个基本概念，威勒斯特拉斯在这两个概念上奠定了他的分析工作的基础。幂级数的形式为

表达式，其中系数a_0，a_1，a_2，…，a_n，…为常数，z为变量，涉及的数可以是实数也可以是复数。

一个数列的前n项之和称为部分和如果对于一个特殊的z值，这些部分和给定的数列收敛到某个极限，我们说幂级数对于这个z值收敛到同一个极限

使幂级数收敛到某一极限的所有Z值，构成级数的收敛域，对于收敛域中变量z的任意值，级数收敛，对于z的其他值，级数发散。

如果级数收敛到某个Z值，那么只要项数足够大，就可以对Z值计算出级数的值，以达到任何期望的近似值。

现在，在大多数对科学有用的数学问题中，人们给出的答案往往是一个微分方程的级数解，而这个解很少能由通常的数学函数的有限表达式得到。).那么，在这样的问题中必须做两件事:

证明级数的收敛性，

如果它收敛，计算它的值，直到所需的精度。

如果级数不收敛，通常是问题表述不正确或求解不正确的信号出现在纯数学中的大量函数都以同样的方式处理，不管它们是否可能有科学应用

最后，所有这些都被推广到多元的幂级数。例如，有两个变量的幂级数:

可以说，如果没有幂级数理论，我们所知道的大多数数学物理都不会存在。

与极限，连续和收敛概念一起出现的种种困难促使维尔斯特拉斯创立了他的无理数理论。

假设我们像在学校那样求2的平方根，计算到小数点后很多位，得到数列1，1.4，1.41，1.412，…，作为对平方根的逐步逼近按照通常的规则，按照确定的步骤，如果有必要，可以给出这个逼近序列的前一千或者前一百万个有理数我们发现，当我们走得足够远的时候，我们就完全确定了这个有理数，这个有理数包含了我们想要的任意多的小数，并且这个有理数不同于序列中后来出现的任何有理数

这就解释了收敛数列的含义:组成数列的有理数为我们提供了一个越来越接近无理数的值，我们称之为2的平方根我们假设这个无理数是由收敛的有理数序列定义的这个定义的含义是，用有限步计算序列中任何特殊成员的方法已经被规定

虽然不可能实际展示整个序列，但我们把构造序列中任何一个成员的过程看作是一个可以讨论的确定对象这样，我们就有了一个在数学分析中使用2的平方根，同样使用任意无理数的可操作的方法

可是，无论对错，维尔斯特拉斯和他的学校使这一理论的工作在数学中，就像其他事物一样，完美是一种幻想用克里尔的话来说，我们只能希望越来越接近数学的真理，就像威尔斯特拉斯用收敛的有理数序列定义无理数一样

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